Юрий Сергеевич Осипов родился 7 июля 1936 году в Тобольске в семье служащих. Родители Юрия непосредственного отношения к науке не имели. Отец - Сергей Филиппович работал в городской больнице бухгалтером. Мать - Наталья Станиславовна, медицинская сестра. Общая нереализованная мечта родителей была получить высшее образование. После смерти родителей воспитанием братьев Николая и Юрия, занималась старшая сестра Ирина.
Юрий Осипов окончил тобольскую среднюю школу № 13 с золотой медалью и поступил на физико-математический факультет Уральского государственного университета. Один из ответов на вопрос, почему Осипов увлекся математикой? – пошел по стопам своего старшего брата. В университете Осипов серьезно занялся научными исследованиями, но отнюдь не замыкался в храме высокой науки. Неплохо играл в шахматы, выступал на соревнованиях, азартно играл в футбол.
В 1959 году Осипов окончил вуз и устроился инженером в конструкторское бюро одного из оборонных предприятий города. В 1961-1969 годах Осипов был сперва аспирантом, а затем ассистентом и доцентом УрГУ. В 1965 году Осипов защитил кандидатскую диссертацию.
В 1969 году Осипов стал старшим научным сотрудником в свердловском отделении математического института и продолжал работать там после реорганизации в 1970 году в Институт математики и механики Уральского научного центра АН СССР.
В 1971 году Осипов защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, а на следующий год стал заведующим одной из лабораторий института математики и механики. В 1973 году Осипов получил звание профессора, в 1978 году возглавил отдел дифференциальных уравнений, которым руководил вплоть до 1993 года.
23 декабря 1987 года Осипов получил звание действительного члена АН СССР в отделении проблем машиностроения, механики и процессов управления.
С 1989 года Осипов работал в Московском государственном университете, где в 1990 году получил профессорское звание, а в 1992 году возглавил кафедру оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики. В 1999 году Осипову было присвоено звание заслуженного профессора МГУ.
В декабре 1991 года Юрий Осипов становится президентом Российской академии наук. Переизбирался на пост главы РАН в 1996, 2001, 2006 и 2008 годах. В 2013 году отказался участвовать в новых выборах.
В 90-е годы и начало 2000-х годов деятельность Осипова на посту главы РАН была связана с увеличением финансирования академии, борьбой с оттоком российских ученых за рубеж, оптимизацией работы РАН. Уже в 2001 году Осипов заявлял, что большинство академических учреждений перешли «от стратегии выживания к развитию». Осипов также сотрудничал с крупным бизнесом, привлекая его к поддержке науки.
Юрий Осипов автор более 170 опубликованных научных работ. Среди его учеников один член-корреспондент РАН, 10 докторов наук и свыше 30 кандидатов наук.
Юрий Осипов уделяет много внимания редакционной, издательской и просветительской деятельности. Он главный редактор журналов «Вестник Российской академии наук», «Доклады Академии наук. Серия математическая», «Вычислительная математика и математическая физика», председатель редколлегии ежегодника «Наука и человечество», член редколлегий журналов «Известия РАН. Техническая кибернетика», «Дифференциальные уравнения», «Прикладная математика и механика» и др. Указом Президента РФ Ю.С. Осипов назначен председателем Научно-редакционного совета «Большой Российской энциклопедии».
Известность как ученого и государственного деятеля принесла Ю.С. Осипову государственные премии: Лауреат Ленинской премии (1976), Государственной премии РФ в области науки и техники (1993). Лауреат международной премии им. просветителей Кирилла и Мефодия. Лауреат Демидовской премии (2010). Награжден орденом Трудового Красного Знамени (1978), орденом «За заслуги перед Отечеством» III степени(1996), II степени (1999) и I степени (2006). За выдающийся вклад в развитие науки награжден Золотой медалью Эйлера (1997), Золотой медалью Эйнштейна (ЮНЕСКО, 1999), Золотой медалью в связи с 200-летием со дня рождения А.С. Пушкина. Удостоен наград Украины – «Орден князя Ярослава Мудрого IV степени», 1999 и орден «За заслуги перед Отечеством 3 степени», Польши – «Командорский орден», 2001, Франции – орден офицера Почетного легиона, 2003, Вьетнама – «Орден Дружбы», 2004, орден "За заслуги перед Итальянской Республикой" степени Гранд-офицера (2010). Произведен в Рыцари Ордена Белого Креста всемирной конфедерацией Рыцарей (Австралия).
Международное признание научных заслуг Юрия Сергеевича выразилось в избрании его членом многих иностранных академий наук, почетным доктором и почетным профессором ряда ведущих университетов мира: Почетный член Московского математического общества, почетный профессор Московского, Санкт-Петербургского, Уральского, Санкт-Петербургского технического университета, почетный доктор Военно-медицинской академии (СПБ).
Иностранный член Австрийской академии наук, Национальных академий Армении, Грузии, Киргизстана, Монголии, Таджикистана, Украины. Член Европейской академии наук и искусств, Вашингтонской академии искусств и наук, Всемирной академии искусств и наук. Почетный член Академии общественных наук Китая, Венгерской академии наук. Почетный член Славянского университета (Бишкек), почетный профессор Нанкайского, Чжэньчжоуского (Китай), почетный доктор Бар-Иланского (Израиль) университетов, университета Сантьяго (Чили). Его деятельность получила и общественное признание. Ю.С. Осипов член Общественной палаты, сопредседатель президиума независимой организации «Гражданское общество».