В настоящей работе исследована задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с гладкими геометрическими ограничениями на управление в виде шара* и неограниченным целевым множеством:
x = y, х, у ∈ R2m, и ∈ R2m,
ε2у = Jy + u, ‖u‖ ≤ 1, 0 < ε ≤ 1,
х(0) = х° ≠ 0, у(0) = y°,
х(Тε) = 0, Тε —► min,
где J = (0 Im) 0 0
Основное отличие от ранее рассмотренных систем с быстрыми и медленными переменными заключается в том, что в данном случае матрица при быстрых переменных представляет собой многомерный аналог жордановой клетки второго порядка с нулевым собственным числом и, следовательно, не удовлетворяет стандартному условию асимптотической устойчивости. Доказана разрешимость задачи. Выписана основная система уравнений для нахождения решения. В случае m = 1 получена и обоснована полная асимптотика в смысле Пуанкаре по асимптотической последовательности εq lnpε, q ∈ N, q-1 ≥ p ∈ N {0} времени быстродействия и вектора, порождающего оптимальное управление. We study a time-optimal control problem for a singularly perturbed linear autonomous system with smooth geometric constraints on the control in the form of a ball and an unbounded target set:
x = y, х, у ∈ R2m, и ∈ R2m,
ε2у = Jy + u, ‖u‖ ≤ 1, 0 < ε ≤ 1,
х(0) = х° ≠ 0, у(0) = y°,
х(Тε) = 0, Тε —► min,
where J = (0 Im) 0 0
The main difference of this case from the systems with fast said slow variables studied earlier is that here the matrix at the fast variables is a multidimensional analog of the second-order Jordan cell with zero eigenvalue, and thus does not satisfy the standard condition of asymptotic stability. The solvability of the problem is proved. The main system of equations for finding a solution is written. In the case m = 1, we derive and justify a complete asymptotics in the sense of Роinсагe with respect to the asymptotic sequence eq lnp εq lnpε, q ∈ N, q-1 ≥ p ∈ N {0} the optimal time and of the vector generating the optimal control.
