Многие природные явления и процессы, такие как потоки лавы при экструзивном извержении вулканов, селевые потоки и оползни горных пород, снежные лавины могут иметь катастрофические последствия для жизни и деятельности человека и животных. Математическое моделирование подобных ситуаций представляет собой важную научную задачу. Все эти и многие другие явления и процессы могут быть представлены моделями гравитационного течения вязкой несжимаемой жидкости. Основными движущими силами в эволюции упомянутых потоков являются гравитационные силы, силы вязкого трения, силы межфазового взаимодействия. Для математического описания подобных процессов предлагаются математические модели движения двухфазной вязкой несжимаемой жидкости. Одну фазу такой жидкости представляет собой собственно вязкая несжимаемая жидкость (вязкая фаза), другую фазу - несжимаемая жидкость с малой плотностью и малой вязкостью, которую условно будем называть воздухом. Введение воздушной фазы позволяет несколько упростить математическую модель для общего потока жидкости и упростить для него граничные условия. Математическая модель включает в себя уравнение Навье - Стокса, уравнение несжимаемости, уравнение переноса вязкой фазы, а также соответствующие начальные и граничные условия. В работе изучаются такие математические модели. Установлена корректность соответствующих начально-краевых задач; для них доказаны теоремы о разрешимости в обобщенном (слабом) смысле. Исследована зависимость решения от исходных данных и некоторых параметров модели Many natural phenomena and processes, such as lava flows during extrusive eruptions of volcanoes, mudflows, rock landslides, and snow avalanches, can have catastrophic consequences for the life and activities of humans find animals. Mathematical modeling of such problems is an important scientific problem. All these and many other phenomena and processes can be represented by models of the gravitational flow of a viscous incompressible fluid. The main driving forces in the evolution of these flows are the forces of gravitation, viscous friction, and interphase interaction. For the mathematical description of such processes, we propose mathematical models of the motion of a two-phase viscous incompressible fluid. One phase of such a fluid is a viscous incompressible fluid (viscous phase) itself, and the other phase is an incompressible fluid with low density and low viscosity, which will be called air for convenience. The introduction of the air phase makes it possible to slightly simplify the mathematical model for the total fluid flow and simplify the boundary conditions for it. The mathematical model includes the Navier-Stokes equation, the incompressibility equation, the viscous phase transfer equation, and the corresponding initial and boundary value conditions. The introduced mathematical models are studied. It is established that the corresponding initial-boundary value problems are well-posed. Theorems on the solvability in the generalized (weak) sense are proved for initial-boundary value problems. The dependence of the solution on the initial data and some parameters of the model is investigated.