Учебное пособие адресовано студентам-математикам. В нем популярно изложены вопросы, связанные с двумя предложениями комбинаторной геометрии - леммами Шпернера и Таккера на плоскости. Дано несколько различных форм и доказательств этих лемм. Установлена их связь с симплициальными отображениями триангулированных многоугольников, со степенями таких отображений, а также с простейшими понятиями алгебраической топологии: цепями, их границами и кограницами, с комбинаторной формулой Стокса. Из лемм Шпернера и Таккера выводятся классические топологические результаты: теоремы о неподвижных точках на круге и на сфере, о нечетных отображениях сферы, о покрытиях сферы замкнутыми множествами, простейшие факты теории размерности.