На ограниченном отрезке времени рассматривается задача Коши для уравнения Гамильтона — Якоби эволюционного типа. Фазовое пространство одномерно, а гамильтониан, зависящий от фазовой и импульсной переменных, склеивается из трёх компонент, экспоненциально зависящих от импульсной переменной и вогнутых по этой переменной. Гамильтониан некоэрцитивен, и для исследуемой задачи не выполнены условия известных теорем существования обобщенных (минимаксных/вязкостных) решений. Поскольку характеристики могут быть непродолжимыми, и импульсные переменные при этом стремятся к бесконечным значениям, на рассматриваемую задачу нельзя формально перенести результаты, полученные ранее для задачи с выпуклыми компонентами гамильтониана. Для исследуемой задачи указаны достаточные условия существования непрерывного вязкостного решения и предложена конструкция его построения на основе метода обобщенных характеристик. Построенное решение является субдифференцируемой функцией. The Cauchy problem for the Hamilton—Jacobi equation of evolutionary type is considered on a bounded time segment. The state space is one-dimensional, and the Hamiltonian, which depends on the state and momentum variables, is glued together from three components that exponentially depend on the momentum variable and are concave in this variable. The Hamiltonian is non-coercive, and the conditions of the known existence theorems for generalized (minimax/viscosity) solutions are not satisfied for the problem under study. Since the characteristics may not be extandable, and in such situations the impulse variables tend to infinite values, it is impossible formally to transfer the results obtained earlier for the problem with convex components of the Hamiltonian to the problem under consideration. For the problem under study, sufficient conditions for the existence of a continuous viscosity solution are indicated and a scheme for its construction based on the method of generalized characteristics is proposed. The constructed solution is a subdifferentiable function.