Для теоремы об асимптотической устойчивости линейной автономной системы дифференциальных уравнений с последействием рассмотрена задача обращения второго метода Ляпунова. Используются обобщенные решения, функциональные элементы которых принадлежат гильбертову пространству состояний. Проблема обращения ставится для дифференциального уравнения с неограниченным оператором в гильбертовом пространстве. В этом пространстве описание квадратичного функционала Ляпунова — Красовского сводится к задаче нахождения представления линейного непрерывного самосопряженного оператора. Она проще задачи непосредственного нахождения коэффициентов квадратичного функционала. Чтобы найти коэффициенты для представления оператора, порождающего функционал Ляпунова — Красовского, используется операторное уравнение Ляпунова. Ранее был предложен метод нахождения вполне непрерывных операторных решений для этого уравнения. В настоящей работе разработан метод нахождения ограниченных решений операторного уравнения Ляпунова. Он сводится к решению краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.
For the theorem on the asymptotic stability of a linear au-
tonomous system of differential equations with aftereffect, the problem of inversion of the second Lyapunov method is considered. Generalized solutions, for which the functional elements belong to the Hilbert state space, are used. The inversion problem is posed for a differential equation with an unbounded operator in a Hilbert space. In this space, the description of the quadratic Lyapunov-Krasovsky functional is reduced to the problem of finding the representation of a linear continuous self-adjoint operator. It is simpler than the problem of directly finding the coefficients of a quadratic functional. To find the coefficients to represent operator generating the Lyapunov-Krasovsky functional, the Lyapunov operator equation is used. A method was previously proposed finding completely continuous operator solutions for this equation. In this paper, a method for finding bounded solutions of the Lyapunov operator equation is developed. It comes down to solving boundary problems for functional differential equations.
