Исследуется однозначная разрешимость линейных уравнений в банаховых пространствах с дискретно распределенной дробной производной Герасимова-Капуто в терминах аналитических разрешающих семейств операторов. Получены условия в терминах резольвенты замкнутого оператора из правой части уравнения, необходимые и достаточные для существования такого семейства операторов, а также изучены его свойства. Эти результаты использованы для доказательства существования единственного решения задачи Коши для линейного уравнения соответствующего класса с неоднородностью, непрерывной в норме графика оператора из правой части уравнения либо гельдеровой. На основе полученных абстрактных результатов исследована однозначная разрешимость начально-краевых задач для одного класса уравнений с дискретно распределенной дробной производной по времени и с многочленами от эллиптического самосопряженного дифференциального по пространственным переменным оператора. We study the unique solvability of linear equations in Banach spaces with discretely distributed Gerasimov-Caputo fractional derivative in terms of analytic resolving families of operators. Necessary and sufficient conditions lor the existence ol such a lamily ot operators are obtained in terms ot the resolvent ot a closed operator from the right-hand side of the equation, and the properties of this family are studied. These results are used to prove the existence of a unique solution to the Cauchy problem for a linear equation of the corresponding class with inhomogeneity which is either continuous in the norm of the graph of the operator from the right-hand side of the equation or Holdenan. Based on the abstract results obtained, we investigate the unique solvability of initial-boundary value problems for a class of equations with discretely distributed fractional time derivative and with polynomials in an elliptic self-adjoint differential operator with respect to spatial variables.