Исследуется задача Чебышева на квадрате П = {z = х + iy ∊ С: mах{|x}, |y|} ≤ 1} комплексной плоскости С. Пусть Βn есть множество алгебраических многочленов заданной степени n с единичным старшим коэффициентом. Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение τn(П) равномерной нормы ||τn||C(П) на квадрате П многочленов рn ∊ Βn и многочлен с наименьшей нормой, называемый многочленом Чебышева (для квадрата). Найдена постоянная Чебышева τ(Q) = limn→∞nτn(Q) для квадрата. Тем самым найдена логарифмическая асимптотика наименьшего уклонения τn(П) по степени многочлена. Дано точное решение задачи для многочленов от первой до седьмой степени. Сужен класс многочленов в задаче, а именно, доказано, что если n = 4m + s, 0 ≤ s ≤ 3, то задачу достаточно решать на множестве многочленов z3qm(z), qm ∊ Βn. Получены эффективные двусторонние оценки величины наименьшего уклонения τn(П) по τn. The Chebyshev problem is studied on the square П = {z = x + iу ∊ С: max{|x|, |y|} ≤ 1} of the complex plane C. Let Βn be the set of algebraic polynomials of a given degree n with the unit leading coefficient. The problem is to find the smallest value τn(П) of the uniform norm ||τn||C(П) polynomials pn G on the square П and a polynomial with the smallest norm, which is called the Chebyshev polynomial (for the squire). The Chebyshev constant τ(Q) = limn→∞nτn(Q) for the squire is found. Thus, the logarithmic asymptotics of the least deviation τn(П) with respect to the degree of a polynomial is found. The problem is solved exactly for polynomials of degrees from 1 to 7. The class of polynomials in the problem is restricted; more exactly, it is proved that, for n = Am + s, 0 ≤ s ≤ 3, it is sufficient to solve the problem on the set of polynomials z3qm(z), qm ∊ βn. Effective two-sided estimates for the value of the least deviation τn(П) with respect to n are obtained.