В статье рассматривается антагонистическая дифференциальная игра с фазовыми ограничениями и функционалом платы, зависящим от момента выхода траектории системы из игровой области и реализовавшейся траектории. Кроме того, мы предполагаем, что часть границы игровой области является линией жизни, где выигрыш бесконечен. Такая постановка задачи обобщает известные задачи быстродействия и задачи быстродействия с линией жизни. Опираясь на формализацию H. Н. Красовского и А. И. Субботина, мы строим субоптимальные позиционные стратегии в случае, когда соответствующая задача Дирихле для уравнения Гамильтона — Якоби допускает вязкостное/минимаксное решение. В частности, показана связь функции цены и минимаксного решения в соответствующей задаче Дирихле для уравнения Гамильтона — Якоби. In the paper we consider a two-zero sum differentiaJ game with state constraints and the payoff functional depending on the exit time and the realized trajectory. In addition, we assume that part of the boundary of the game area is a lifeline where the payoff equals infinity. This formulation of the problem generalizes the known time optimal problem and time optimal problem with a lifeline. According to the formalization of N.N. Krasovsky and A.I. Subbotin, we constucted suboptimal positional strategies in the case when the corresponding Dirichlet problem for the Hamilton-Jacobi equation admits a viscous/minimax solution. In particular, the link between the value function and the minimax solution in the corresponding Dirichlet problem for the Hamilton-Jacobi equation is shown.