В работе изучается неравенство ||y'||Lq(G) ≤ К(r, p, G)1/2Lr(G)||y"'||1/2Lp(G) на вещественной оси G = R и периоде G = Т для значений параметров q ∈ [1,∞), r∈ (0, ꝏ], р ∈ [1, ꝏ], 1/г + 1/р = 2/q. Доказано, что точная константа К (r, p, R) равна точной константе К1 в неравенстве ||u"||Lg[0, 1] ≤ K1||u||1/2Lr[0, 1]||u"||1/2Lp[0, 1] по множеству выпуклых на [0,1] функций u, имеющих абсолютно непрерывную производную и удовлетворяющих условию u'(0) = u(1) = 0. Как следствие этого утверждения равенство К (г, р, R) = К(г, р, Т), установленное в 2003 г. В. Ф, Бабенко, В. А. Кофановым и С. А. Пичуговым для г ≥ 1, распространено на г ≥ 1/2. Также для р = 1, r ꝏ∈ [1, ꝏ) получено новое доказательство равенства K(r, 1, R) = (г + 1)1/(2(г + 1)) q = 2г/(r + 1), установленного в 1975 г. В. В. Арестовым и В. И. Бердышевым. We study the inequalit ||y'||Lq(G) ≤ К(r, p, G)1/2Lr(G)||y"'||1/2Lp(G) on the real G = R and on the period T for q ∈ [1, ∞), r∈ (0, ꝏ], р ∈ [1, ꝏ], 1/г + 1/р = 2/q. We prove that the exact constant К (г, p, R) is equal to the exact constant K1 in the inequality ||u"||Lg[0, 1] ≤ K1||u||1/2Lr[0,1]||u"||1/2Lp[0,1], having an absolutely continuous derivative and satisfying the condition u'(0) = u(1) = 0. As a consequence of this statement, the equality K(r, p, R) = К(r, p, T) established in 2003 by V. F. Babenko, V. A. Kofanov, and S. A. Pichugov for г ≥ 1, is extended to r ≥ 1/2. In addition, we give a new proof of the equality K(r, 1, R) = (г + 1)1/(2(г + 1)) q = 2г/(r + 1) ), which was established by V. V. Arestov and V. I. Berdyshev in 1975.