В работе рассматривается задача о порядковых оценках норм частичных сумм тригонометрических рядов Фурье как операторов из пространств Орлича Lφ2π, в пространство 2π-периодических непрерывных функций C2π. Установлено, что для произвольной порождающей класс Орлича функции φ справедлива оценка
‖Sn(f)‖C2π ≤ Cφ-1(n)Ln(n + 1)‖f‖Lφ2π, (*)
где f ∈ Lφ2π, n ∈ N, Sn-n-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f, а константа С > 0 не зависит от f и от n. Кроме того, показано, что если функция φ удовлетворяет Δ2-условию, то оценка (*) может быть улучшена. А именно, справедливо неравенство
‖Sn(f)‖C2π ≤ Cφ-1(n)Ln(n + 1)‖f‖Lφ2π, f ∈ Lφ2π, n ∈ N, C = C(φ). (**)
Далее в работе строятся контрпримеры, показывающие, что если φ удовлетворяет Δ2-условию, то на пространстве Lφ2π оценка (**) является не улучшаемой по порядку, а если φ удовлетворяет Δ2-условию, то на пространстве Lφ2π не улучшаемой по порядку будет оценка (*).
We consider the problem of order estimates for partial sums of trigonometric Fourier series as operators from Orlicz spaces Lφ2π to the space of 2π-periodic continuous functions C2π. It is established that an arbitrary function φ generating an Orlicz class satisfies the estimate
‖Sn(f)‖C2π ≤ Cφ-1(n)Ln(n + 1)‖f‖Lφ2π, (*)
where f ∈ Lφ2π, n ∈ N,Sn(f) is the nth partial sum of the trigonometric Fourier series of f, and the constant С > 0 is independent of f and n. In addition, it is shown that if the function φ satisfies the Δ2-condition, then the estimate can be improved. More exactly,
‖Sn(f)‖C2π ≤ Cφ-1(n)Ln(n + 1)‖f‖Lφ2π, f ∈ Lφ2π, n ∈ N, C = C(φ). (**)
Counterexamples are constructed, which show that if φ satisfies the Δ2-condition, then estimate (**) is unimprovable in order on the space Lφ2π and, if φ satisfies the Δ2-condition, then estimate (*) is unimprovable in order on the space Lφ2π.
