Под фуллереном в статье понимается выпуклый простой (в каждой вершине сходятся по три ребра) полиэдр, на котором разрешены только 5- и 6-угольные грани. Доказана теорема о существовании хотя бы одного потенциально стабильного (без контактирующих 5-угольных граней) фуллерена с любым четным числом вершин n ≥ 70. Это утверждение ранее принималось многими авторами как справедливое, но опиралось на результаты компьютерного моделирования. В строго доказанной форме оно может служить основой и оправданием экспериментального синтеза реальных потенциально стабильных высших фуллеренов, так как отсутствие контактирующих 5-угольных граней является, по Г. Крото, первым важнейшим условием их стабильности. Фуллерены, для которых реализуется второй критерий стабильности - максимально высокая симметрия, а именно икосаэдрическая точечная группа симметрии -3-5 m и ее подгруппа 235 - рассмотрены авторами ранее (см. сборники МТ-2002 и МТ-2003). A fullerene is considered below as any convex simple (only 3 edges meet at each vertex) polyhedron in which the pentagonal and hexagonal facets are allowed only. The highest (i. e. with n > 70) Cn fullerenes are known to be of great interest for chemical and physical theoretical as well as practical reasons. In accordance with the 1st stability criterion by G. Kroto, such fullerenes don’t possess the contacting 5-gonal facets. And many authors declared that they do exist for any even n > 70. This opinion was mainly based on the computer simulations of the shapes up to now. In the paper, an appropriate theorem is proved. The fullerenes for which the 2nd stability criterion by G. Kroto (as high symmetry as possible) is fulfilled were considered in our papers on the icosahedral fullerenes (namely, of - 3-5 m and 235 symmetry point groups) in the MT-2002 and MT-2003 volumes.