В случае, когда размерность фазового пространства равна единице, изучается задача Коши для уравнения Гамильтона - Якоби эволюционного типа. Область, в которой исследуется уравнение, разбивается на три подобласти. В каждой из подобластей гамильтониан непрерывен, а на их границах терпит разрыв по фазовой переменной. Гамильтониан является выпуклым по импульсной переменной, при этом зависимость от импульсной переменной экспоненциальна. На основе вязкостного/минимаксного подхода вводится определение непрерывного обобщенного решения изучаемой задачи Коши с разрывным гамильтонианом. Доказательство существования такого обобщенного решения имеет конструктивный характер. Вначале строится вязкостное решение в замыкании средней области. При этом существенным является коэрцитивность гамильтониана по импульсной переменной в средней области. Затем решение непрерывно продолжается на две другие области посредством решения вариационных задач с подвижными концами и на основе метода обобщенных характеристик. Единственность обобщенного решения доказывается при условии глобальной липшицевости начальной функции. The Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi equation of evolution type is studied in the case of onedimensional state space. The domain in which the equation is considered is divided into three subdomains. In each of these subdomains, the Hamiltonian is continuous, and at their boundaries it suffers a discontinuity in the state variable. The Hamiltonian is convex in the impulse variable, and the dependence on this variable is exponential. We define a continuous generalized solution of the Cauchy problem with a discontinuous Hamiltonian on the basis of the viscous/minimax approach. The proof of the existence of such a generalized solution is constructive. First, a viscosity solution is constructed in the closure of the middle domain. Here, the coercivity of the Hamiltonian with respect to the impulse variable in the middle domain is essential. The solution is then continuously extended to the other two domains. The extensions are constructed by solving variational problems with movable ends based on the method of generalized characteristics. The uniqueness of the generalized solution is proved under the condition that the initial function is globally Lipschitz.