На произвольной сетке узлов Δ = {хk}∞k=0 рассмотрена задача Ю. Н. Субботина экстремальной функциональной интерполяции числовых последовательностей {yk}∞k=0, у которых разделенные разности n-го порядка ограничены, а первые члены уо,y1,...,y9s-1 заранее заданы. При этом требуется найти n раз дифференцируемую функцию f такую, что f(хk) = уk (к ∈ ℤ+), и имеющую наименьшую норму производной порядка n в пространстве L∞. Ю. Н. Субботин поставил и изучил эту задачу только для равномерной сетки узлов на полуоси [0; +∞). В настоящей работе при s ≥ n доказана
конечность этой наименьшей нормы, если у сетки узлов интерполяции наименьший шаг h = inf(xK+1 - хk)
к
отделен от нуля, а наибольший h = sup(hk=1 — hk) — от бесконечности. В случае второй производной (т. е. при n=2) указанная величина точно вычислена при s = 2 и оценена сверху при s≥3 в терминах шагов сетки.
On an arbitrary grid Δ = {хk}∞k=0, we consider Yu. N. Subbotin’s problem of
extremal functional interpolation of numerical sequences {yk}∞k=0 such that their first terms уо,y1,...,y9s-1
are given and the nth-order divided differences are bounded. It is required to find an n-times differentiable
function / with the smallest norm of the nth-order derivative in the space L00 such that /(x*) = y* (fc 6 Z+).
Subbotin formulated and studied this problem only for a uniform grid on the half-line [0; +oo). We prove the
finiteness of the smallest norm for s > n if the smallest step of the interpolation grid h = inf(xK+1 - хk)) is
к
bounded away from zero and the largest step h = sup(hk=1 — hk) is bounded away from infinity. In the case of
к
the second derivative (т. е. при n=2), the required value is calculated exactly for s=2 and is estimated from above for s≥3 in terms of the grid steps.
